Indépendence conditionnelle

On considère deux pièces de monnaie \(\text A\) et \(\text B\) de probabilités respectives \(p_A\) et \(p_B\) d'obtenir "pile" lors d'un lancer. Une expérience aléatoire consiste à choisir au hasard l'une des deux pièces et à la lancer six fois de suite.
On note :

• \(\text{M}_\text A\) l'événement "On pioche la pièce \(\text A\) ".
  
•   \(\text M_\text B\) l'événement "On pioche la pièce \(B\) ".
  
• \(\text I_j\) l’événement "Obtenir pile lors du \(j\) -ème lancer".

1. Dans cette question soit \(p_A=0,1\) et \(p_B=0,9\) .
     a. Calculer la probabilité d'obtenir \(\text 6\) piles.
     b. Déterminer la probabilité d'obtenir pile au sixième lancer sachant qu'on a déjà obtenu \(\text 5\) piles.
     c. Dans le cas où on ne connaisse pas si la pièce choisie est \(\text A\) ou \(\text B\) et on constate que les \(\text 5\) premiers lancers donnent "piles", quelle pièces a-t-on le plus de probabilité d'avoir choisie ?
     d. Expliquer pourquoi parle-ton d' "indépendance conditionnelle" dans ce cas.

2. Dans le cas général, démontrer que la probabilité d'obtenir "pile" au sixième lancer lorsqu'on a obtenu "pile" aux cinq lancers précédents est donnée, en fonction de \(p_A\) et \(p_B\) par \(P_{\text I_1\cap \text I_2\cap \text I_3\cap \text I_4 \cap \text I_5}(\text I_6)=\dfrac{p_A^6+p_B^6}{p_A^5+p_B^5}\) .
3. Calculer la probabilité précédente dans le cas de deux pièces de monnaies équilibrées. Conclure.

Sujet inspiré de l'article "Le soleil se lèvera-t-il demain ?" par Karim Zayana et Olivier Rioul, Tangente Hors Série 88